2025년 7월 14일, 1차 함수와 직선의 방정식 마스터하기

1차 함수에서 x에 0을 대입하면 x를 가진 항이 사라지게 됩니다. 이때 남는 상수항 b는 y절편, 즉 y축과 만나는 점의 위치를 결정합니다. 이는 x가 0일 때의 y값으로, 그래프가 y축을 가로지르는 지점을 나타냅니다.

"x의 0을 대입하는 함수가 앞에 항이 다 사라지잖아요. x를 가진 항이 사라지. 그럼 x의 0을 대입해서 우리가 계산했던 게 바로 뭐였냐면 y 절편. 즉 y축하고 만나는 점은 b에 따라 정해진다라는 거."

ax 꼴의 1차 함수는 항상 원점을 지나는 직선을 나타냅니다. 여기에 상수항 b가 추가되면, 이 b의 부호와 값에 따라 직선이 y축 방향으로 위아래로 평행 이동하게 됩니다. 양수 b는 위로, 음수 b는 아래로 이동시키는 역할을 합니다.

"그 b가 생기면 따라서 요렇게 직선을 위 아래로 움직일 수 있다라는 거 요게 이제 일차 기분들이 근이 되는 거예요."

기울기 a가 0이고 상수항 b가 0이 아닐 때, y=b 꼴의 방정식은 기울기가 0인 상태로 x축에 평행한 직선을 나타냅니다. 반대로 x가 하나의 상수로 고정되면, 이 직선은 y축에 평행하거나 x축에 수직인 형태를 띠게 됩니다.

"y는 얼마꼴은 기울기요 자리가 0인 거야. 그래서 기울기가 0인 상태라고 어떻게 괜찮아? 알겠지? ... x가 하나의 상수로 고정되면 x축의 수직인 또는 y축의 평행한 요러한 직선을 만든다."

직선의 방정식을 유도하는 가장 기본이 되는 식은 'y - y1 = m(x - x1)'입니다. 이 식은 특정 점 (x1, y1)을 항상 지나는 동시에 기울기 m을 가지는 직선을 표현합니다. 이를 통해 지나는 한 점과 기울기만 알면 어떤 직선의 방정식이든 쉽게 만들 수 있습니다.

"y - y1 = m(x - x1) 해서 요게 우리가 다루는 직선에서 가장 기본이 되는 식이야."

직선의 방정식에서 기울기 m 값에 관계없이 항상 지나는 특정 점을 찾으려면 항등식의 개념을 활용해야 합니다. 방정식을 기울기 m에 대한 항등식 형태로 정리하면, m 앞의 계수와 나머지 상수항이 모두 0이 되게 하는 x, y 값이 바로 기울기에 상관없이 항상 지나는 점의 좌표가 됩니다.

"기울기랑 관계없이 항상 지난 점이 필요해. 그럼 이 기울기를 두고 요런 식으로 정리하시면 돼요. 요런 식으로 정리하면 여기 들어가는 것이 항상 지난 점 좌표가 되겠지."

두 점을 이용하여 기울기를 계산할 때, x 증가량(x2-x1)과 y 증가량(y2-y1)을 계산하는 순서는 반드시 일치해야 합니다. 만약 x값의 뺄셈 순서와 y값의 뺄셈 순서가 다르면 기울기 값이 잘못 계산될 수 있습니다. 순서가 바뀌지 않도록 주의해야 합니다.

"x는 내가요 점에서요 점을 얼만큼 변했는지 알고 여기서 요걸 뺐어. 뭐 y는 똑같이 여기서 이걸 빼야 돼. 순서가 바뀌시면 안 됩니다."

직선의 기울기는 x축의 양의 방향과 직선이 이루는 각을 세타라고 할 때, 이 각의 탄젠트 값과 같습니다. 즉, 기울기 m은 tan(세타)로 표현될 수 있습니다. 이 관계는 삼각비를 활용하여 직선의 기울기를 이해하고 계산하는 데 중요한 역할을 합니다.

"직선의 기울기는 직선이 x축의 양의 방향과 이르는 각을 세타라고 했을 때 탄젠트 값과 기울기가 같다. 요것이 기울기 m이 나온다."

두 직선의 교점을 구하는 방법은 무조건 연립 방정식이 최우선입니다. 두 방정식을 연립하여 해를 구하는 것이 교점의 좌표를 찾는 가장 기본적인 원리이며, 차수가 높은 지수 함수나 로그 함수와 같은 다른 형태의 함수에서도 교점을 찾을 때 연립이 가장 중요하다고 강조됩니다. 이는 교점을 찾는 데 있어 기본적인 접근 방식입니다.

"교점을 구할 때는 무조건이야. 교점을 구하는 방법은 무조건입니다. 연립이 최우선이에요."

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할 때 'K 공식'이라는 항등식의 원리를 이용한 방법이 있습니다. 이 공식은 교점을 지나는 무수히 많은 직선을 한 번에 표현할 수 있으며, 뒤에 원의 방정식 등 고난도 문제에서도 동일하게 적용될 수 있어 매우 유용합니다. 이는 단순히 두 직선의 교점을 찾는 것을 넘어, 교점을 지나는 모든 직선의 자취를 나타내는 강력한 도구로 활용됩니다.

"이걸 사실 공식처럼 만들어 놓은게 있어. K식 얘기를 많이 할 건데 교점을 지나는 이걸 왜 공식화시키는 거냐면 뒤에 가서 원방에서도 똑같이 써먹으려고 하는 거예요."

두 직선이 한 점에서 만나려면 기울기(m과 m프라임)가 서로 같지 않아야 합니다. 만약 기울기가 같다면 두 직선은 평행하거나 일치하게 되므로, 한 점에서 만나기 위해서는 반드시 기울기가 달라야 합니다.

"첫 번째 1번과 2번이 한 점에서 만나고 싶어. 그럼 어떻게 되냐면 기울기 n과 n프라임간이 같지 않은 이렇게 이제 정리한다는 얘기야."

두 직선이 서로 수직으로 만날 때, 이 두 직선의 기울기를 곱하면 항상 -1이 됩니다. 이는 역수이면서 부호가 반대인 관계를 의미합니다. 이 조건은 삼각형의 기하학적 성질과 피타고라스 정리를 활용하여 유도될 수 있으며, 실제 문제 해결에서 수직 관계를 빠르게 판단하고 활용하는 데 매우 중요합니다.

"기울기가 다른데 어떻게 다른 거냐면 둘이 곱해서 뭐야 곱했을 때 -1. 즉 역수는 역수인데 마이너스 역수 이런 얘기야."

직선의 방정식이 ax+by+c=0과 같은 일반형으로 주어졌을 때도 평행, 일치, 수직 조건을 공식처럼 만들어낼 수 있습니다. 두 직선이 평행하려면 x 계수와 y 계수의 비가 같아야 하고, 일치하려면 상수항까지 모든 계수의 비가 같아야 합니다. 수직 조건은 x 계수의 곱과 y 계수의 곱을 더한 값이 0이 될 때 성립합니다.

"이 상태에서도 우리가 공식처럼 만들어낼 수 있으니까 한번 만들어 볼까라는 거는."

주어진 두 직선이 평행하거나 수직이라는 조건을 이용하여 미지수 a의 값을 구할 수 있습니다. 평행 조건은 x 계수의 비와 y 계수의 비가 같다는 점을 활용하고, 수직 조건은 기울기의 곱이 -1이라는 점을 이용합니다. 이 과정에서 분수식을 전개하여 이차방정식을 풀게 될 수도 있으며, 구해진 a값이 평행 또는 일치 조건에 맞는지 검증하는 과정이 필요합니다.

"평행하기 위해선 x의 계수의 b와 y의 계수의 b가 같아. 기울기 같은 거."

기울기가 -1인 직선은 x, y 계수의 위치를 서로 바꾸고 둘 중 하나의 부호를 반대로 처리하여 빠르게 유도할 수 있습니다. 예를 들어 2x+3y=C 꼴의 직선에 수직인 직선은 3x-2y=k (또는 -3x+2y=k) 형태가 됩니다. 이때 상수 k는 지나는 점을 대입하여 결정하며, 이를 통해 수직인 직선의 일반형 방정식을 효율적으로 설정할 수 있습니다.

"수직이야. 그러면 오케이 바꿔. 2x 3y인데 3y인데 둘이 부호가 다르잖아. 같게."

수직이등분선을 구하는 방법은 크게 두 가지로 나뉩니다. 첫 번째는 주어진 선분의 중점을 찾고, 그 선분에 수직인 기울기를 구하여 직선의 방정식을 세우는 방법입니다. 두 번째는 선분의 양 끝점에서부터 거리가 같은 점들의 자취를 이용하여 방정식을 도출하는 방법입니다. 이 두 가지 방법은 문제 상황에 따라 선택적으로 활용될 수 있습니다.

"수직이등분선은 두 가지 형식으로 풀 수 있거든요."

점 P(x, y)가 선분 AB의 수직이등분선 위에 있을 때, 점 P는 점 A와 점 B로부터 같은 거리에 있습니다. 이 성질을 이용하여 PA=PB라는 거리 공식을 세우고 양변을 제곱하여 정리하면 수직이등분선의 방정식을 얻을 수 있습니다. 점 P의 자취는 선분 AB의 수직이등분선이 됩니다.

"P의 자취는 선분 AB의 수직 이등분선이 되는 거야."

세 개의 직선이 평면을 여섯 개의 영역으로 나누는 경우는, 세 직선 중 두 개 이상이 평행하여 삼각형을 만들지 않는 상황과 기하학적으로 동일합니다. 이는 세 직선이 모두 평행하거나, 두 직선이 평행하고 나머지 한 직선이 그 둘을 가로지를 때 발생할 수 있습니다. 각 경우마다 평면이 분할되는 영역의 수가 달라지므로, 특정 영역 수에 대한 질문은 직선들의 위치 관계를 정확히 파악해야 합니다.

"직선에 의해 평면이 여섯 군데로 분할되는 경우."

평행한 두 직선 사이의 거리를 구하려면, 두 직선 중 아무거나 하나를 선택하여 그 위에 임의의 점을 하나 찾습니다. 보통 x 또는 y에 0을 대입하여 쉽게 점의 좌표를 구합니다. 이렇게 찾은 한 점과 나머지 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하여 계산하면, 그것이 곧 두 평행선 사이의 거리가 됩니다.

"둘 중에 하나를 찍어. 둘 중에 두 직선 중에 한 점을 찾아. 보통 x나 y한테 0을 대입해서 그런 데서 하나 점을 찾으라고."

특정 점으로부터 거리가 일정한 직선을 찾을 때, 기울기가 고정되어 있더라도 일반적으로 두 개의 직선이 나올 수 있습니다. 이는 주어진 점을 기준으로 해당 거리에 있는 직선이 한쪽 방향으로만 존재하는 것이 아니라, 반대편에도 동일한 거리를 가진 평행한 직선이 존재하기 때문입니다. 따라서 문제에서 '직선의 방정식'을 묻는 경우 두 가지 해를 모두 고려해야 합니다.

"기울기가 3 양수인 직선이 이렇게 있어. 그럼 거리가 2란 얘기지. 이쪽으로만 거리가 2겠어? 이쪽으로 거리가 2인 경우도 있겠지. 평행하니까 두 개가 나오겠죠."

세 점의 좌표가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 편리하게 계산할 수 있는 방법으로 '신발끈 공식'이 소개되었습니다. 이 공식은 정식 명칭은 아니지만, 좌표를 세로로 나열하고 마지막에 처음 좌표를 한 번 더 적은 후, 오른쪽 아래 대각선 곱들의 합에서 왼쪽 아래 대각선 곱들의 합을 빼고 그 결과의 절댓값을 2로 나누는 방식으로 넓이를 구합니다. 이는 복잡한 계산 없이 넓이를 빠르고 정확하게 구할 수 있는 유용한 팁입니다.

"자, 여기서 하나의 팁 신발끈이라는 게 있어요. 말도 안 되는데. 공식 이름은 신발끈 그게 정식 명칭 아니야. 사람들이 그렇게 푸는 거지."

두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취가 선분의 수직이등분선인 것처럼, 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점 P의 자취는 '각의 이등분선'이 됩니다. 이 각의 이등분선은 항상 서로 수직인 두 개의 직선으로 나타나며, 이는 점 P가 두 직선에 대해 등거리 관계를 만족해야 한다는 기하학적 성질에서 비롯됩니다. 이 원리를 통해 각의 이등분선 방정식을 도출할 수 있습니다.

"두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들을 모아서 즉 p의 자취를 구해 주면 그것은 뭐였냐면 두 점을 연결하는 선분의 수직 이등분선이었다는 거예요. 지금 하는 것은 두 점이 아니라 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점 P의 좌표를 묻는 거죠."

각의 이등분선 방정식을 도출할 때 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면 두 식의 절댓값이 같다는 형태로 나타납니다. 절댓값이 같은 두 식은 두 가지 방식으로 풀이되어야 합니다. 하나는 두 식의 부호가 같은 경우, 다른 하나는 부호가 반대인 경우입니다. 이 두 가지 경우를 모두 고려해야 각의 이등분선인 두 개의 직선 방정식을 모두 찾을 수 있습니다.

"두 절댓값이 같은 식은 어떻게 풀릴까? 그냥 같아요. 다를 순 없어. 절댓값이 같다는 건 부호 상관없이 같은 거잖아. 그래서 이 식에 대한 풀이는 두 가지로 가져가셔야 됩니다. 그대로 같은 거랑 또는 부호 반대인 거."